» » Рекордный многоугольник Хееша

Рекордный многоугольник Хееша

Рекордный многоугольник Хееша

На этом рисунке изображен многоугольник пилообразного вида, обложенный своими копиями в несколько слоев. Сам исходный многоугольник (назовем его (P)) находится в центре, у него оранжево-красный цвет. Каждый следующий слой образован всеми копиями (P), имеющими хотя бы одну общую точку с каким-то из многоугольников предыдущего слоя. Принадлежащие одному и тому же слою многоугольники окрашены одинаково. При удалении от центра рисунка цвет слоев меняется: чем дальше слой расположен от исходного многоугольника, тем его цвет «холоднее».

Количество слоев на этом рисунке равно шести. Оказывается, как ни обкладывай многоугольник (P) его копиями (которые можно поворачивать и переворачивать), получить семь слоев без пробелов и наложений не удастся. Более того, на сегодняшний день других многоугольников, обладающих таким свойством, не известно: прочие многоугольники, которые можно обложить шестью слоями их копий, можно обложить и любым другим количеством слоев.

Для произвольного многоугольника (F) максимальное число слоев, которые можно породить, обкладывая (F) его копиями, называется числом Хееша и обозначается (H(F)). Если копиями (F) можно замостить всю плоскость, то максимальное число слоев не определено. В этом случае можно неформально считать, что оно бесконечно: (H(F)=infty). Число Хееша случайного многоугольника, который вообразит себе неискушенный читатель, почти наверняка будет либо бесконечностью, либо нулем. Например, если (F) — квадрат, треугольник или правильный шестиугольник, то его копиями можно замостить плоскость и (H(F)=infty). Если же (F) — правильный пятиугольник или семиугольник, то не получится выложить уже первый слой и (H(F)=0).

Как мы уже убедились, бывают фигуры, для которых число Хееша конечно, но отлично от нуля. Но какие значения оно может принимать? Этот вопрос в математике известен как задача Хееша — в честь немецкого математика Генриха Хееша (Heinrich Heesch), который впервые явным образом сформулировал его в 1968 году. До недавнего времени были известны примеры многоугольников (F), для которых (H(F)=1, 2, 3, 4, 5). Более подробно о том, как они устроены, можно прочитать в послесловии к задаче Обложить со всех сторон!.


Рекордный многоугольник Хееша

Рис. 1.


Многоугольник (P), породивший главное изображение, является первым примером фигуры с числом Хееша, равным шести. Он был предъявлен Бояном Башичем в начале 2021 года и представляет собой объединение 6 правильных шестиугольников, 11 правильных треугольников и одного прямоугольного треугольника (рис. 1, вверху). Прикладывая его копии так, чтобы не возникало незаполненных промежутков, мы получим повторяющийся паттерн замощения правильными шестиугольниками и треугольниками (рис. 2). Однако замостить всю плоскость не получится. Проблема заключается в комбинаторной несбалансированности многоугольника (P). Дело в том, что в замощении, изображенном на рис. 2, на каждый шестиугольник приходится два треугольника. А в нашем многоугольнике соотношение другое: на 12 шестиугольников приходится только 23 треугольника (рис. 1, внизу). Поэтому, прикладывая копии многоугольника друг к другу, в какой-то момент мы неизбежно обнаружим, что треугольников перестало хватать. В частности, приглядевшись, мы обнаружим это и на исходной картинке: количество выступов на ней заметно меньше количества пазов.


Рекордный многоугольник Хееша

Рис. 2.


Идея комбинаторной несбалансированности — один из наиболее простых способов убедиться в том, что данным многоугольником нельзя замостить плоскость. Однако этот способ не позволяет ответить на вопрос, чему именно равно число Хееша. Чтобы вычислить точное значение, требуется компьютерный перебор, сложность которого стремительно растет вместе с усложнением формы многоугольника. Таким образом, главной трудностью при решении задачи Хееша является даже не конструирование многоугольников, потенциально имеющих возможность побить рекорд, а написание эффективной программы, которая могла бы такие многоугольники протестировать. Для наиболее простых форм, таких как полимино, полиамонды и полигексы, Крейг Каплан предложил метод тестирования, опирающийся на задачу выполнимости булевых формул. К сожалению, пока это не позволило побить рекорд Бояна Башича, и даже не помогло повторить результат Кейзи Манна (который в 2004 году предложил многоугольник с числом Хееша 5, см. упомянутую задачу Обложить со всех сторон!). Тем не менее, Каплану удалось найти несколько новых интересных примеров многоугольников с числом Хееша, равным 4 (рис. 3), и это позволяет надеяться, что новые открытия на за горами.


Рекордный многоугольник Хееша

Рис. 3. Многоугольники с числом Хееша 4, найденные Крейгом Капланом. Рисунки с сайта isohedral.ca


Хайдар Нурлигареев

10 август 2021 /
  • Не нравится
  • 0
  • Нравится

Похожие новости

Ковер Серпинского

Перед вами — ковер Серпинского, это типичный пример фрактальной фигуры...

Муравьи вида Mycocepurus smithii размножаются клонированием и являются точными копиями своей королевы

Ученые обнаружили амазонских муравьев, которые отказались от секса и живут в колониях, состоящих исключительно из самок. В отчете, опубликованном в журнале «Proceedings of the Royal Society»,

Волшебные свойства девятки.

Человеческая рука - одна из первых счетных машин! Положите обе руки рядом на стол и протяните пальцы. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева — 1,

В геометрию можно играть!

Игра "Геометрика" от Банды Умников (о которых я уже рассказывала) поможет детям познакомиться с самыми разными фигурами, их свойствами и такими понятиями, как "сторона", "периметр", "прямой и острый

Интересные факты о математике

Какой математик постигал основы науки по обоям в комнате?

Почему нельзя делить на ноль?

Еще со школьной скамьи нам вдалбливали в голову, что на 0 делить нельзя.
Комментарии

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Код:
Кликните на изображение чтобы обновить код, если он неразборчив
Введите код:
Популярные новости
Уличный художник заполняет выбоины в своём родном городе яркими мозаиками«Разрывая семейные узы» Нормана РокуэллаСкульптуры-спирали Ли СангсуИрина Лёвшина и её пластилиновые копии известных картинLa Muralla Roja, фантастический дом-лабиринт в ИспанииКак работает бумеранг и кто его изобрел?10 лесов, которые наносят природе непоправимый вредВ Перу обнаружили древние захоронения — какие секреты хранят останки?