» » Самоподобные замощения

Самоподобные замощения


Самоподобные замощения

Перед вами самоподобное замощение плоскости уголками, составленными из трех квадратиков. Уголки можно объединить по четыре в уголки большего размера — получится такое же замощение, но только большего размера, причем такое укрупнение можно проводить сколько угодно раз. Самоподобные замощения имеют много общих свойств с мозаикой Робинсона (см. картинку дня «Мозаика Робинсона»). В частности, они непериодичны, но при этом обладают свойством квазипериодичности: любой конечный фрагмент встречается в таких замощениях бесконечно много раз.

Будем говорить, что фигура является самоподобной, если ее можно разбить на несколько равных частей, каждая из которых подобна исходной фигуре. Например, самоподобны квадрат, равносторонний треугольник, прямоугольник «домино», уголок из трех клеток и составленный из шести равносторонних треугольников «сфинкс»:


Самоподобные замощения

Коль скоро у нас есть самоподобная фигура, мы можем определить процесс дефляции-инфляции. Один шаг этого процесса заключается в том, что мы сначала разбиваем данную фигуру на подобные части согласно приведенной схеме, а затем «раздуваем» их таким образом, чтобы в итоге каждая из частей сравнялась по размеру с исходной фигурой:


Самоподобные замощения

Можно не ограничивать себя одним шагом, а продолжить разбивать получающиеся на предыдущих шагах фигуры на меньшие части, «раздувая» их до изначального размера, а затем повторяя всё вновь и вновь. Оказывается, в пределе мы получим замощение всей плоскости копиями исходной фигуры. Хотя, вообще говоря, было бы неверно думать, что после применения конечного числа шагов процесса инфляции-дефляции обязательно возникает какой-то фрагмент этого замощения. В самом деле, если мы рассмотрим, например, разбиение «домино» на четыре параллельные «доминошки» меньшего размера, то после нечетного числа шагов у нас будут возникать фрагменты горизонтального замощения, а после четного — фрагменты вертикального замощения:


Самоподобные замощения

С другой стороны, мы всегда сможем перевести одно в другое простым поворотом. Построенное нами таким образом замощение является самоподобным. Это означает, что составляющие его плитки (плитки первого уровня) могут быть объединены в макроплитки (плитки второго уровня), подобные исходным. В свою очередь, макроплитки могут быть объединены в супермакроплитки и так далее, то есть укрупнение возможно на любом шаге, и плитки k-го уровня, будучи сгруппированы определенным образом, образуют плитки (k + 1)-го уровня. Словом, возникает бесконечная иерархия замощений, соответствующих плиткам разных уровней. Например, на рисунке ниже изображены первые три ступени такой иерархии для самоподобного замощения уголками:


Самоподобные замощения

Иерархии самоподобных замощений различаются в зависимости от того, сколькими способами на каждом уровне может быть проведено укрупнение. Если таких возможностей несколько, то иерархия называется слабой. Таковыми являются, скажем, замощение плоскости квадратами или равносторонними треугольниками. Так, на рисунке ниже показано четыре возможных способа сгруппировать квадратные плитки по четыре так, чтобы получились макроплитки:


Самоподобные замощения

Если же каждый раз укрупнение можно провести единственным образом, то иерархия замощений называется строгой — таковы самоподобные замощения фигурами «домино» (имеется в виду способ, показанный на втором и третьем рисунках), уголками и «сфинксами».

Оказывается, самоподобные замощения со строгой иерархией в большинстве своем обладают теми же самыми свойствами, что и типичная мозаика Робинсона: они непериодические, но любой конечный фрагмент встречается в каждом таком замощении бесконечно много раз, а всего замощений, получающихся по одной и той же схеме, несчетное число. Более того, доказательство этого факта практически дословно повторяет те рассуждения, которыми мы объясняли наличие перечисленных выше свойств у мозаики Робинсона. Поглядим, почему так получается, на примере замощения уголками.

Напомним, что замощение называется периодическим, если существует такой вектор (vec v), что параллельный перенос всех плиток замощения на вектор (vec v) дает нам то же самое замощение, что было изначально. Предположим, что самоподобное замощение является периодическим, то есть оно остается неизменным после применения некоторого параллельного переноса. В частности, при этом для каждого k плитки k-го уровня должны переходить в плитки k-го уровня. Однако выбрав k достаточно большим, мы обнаружим, что плитка k-го уровня настолько огромна, что ее образ под действием параллельного переноса накладывается на исходную плитку (для этого достаточно, чтобы диаметр плитки k-го уровня превышал длину вектор (vec v)). Как можно видеть на примере замощения плоскости квадратами, это возможно для самоподобных замощений со слабой иерархией. Однако для строгих иерархий мы сразу приходим к противоречию, поскольку укрупнение плиток до k-го уровня возможно единственным способом, а значит, любые две плитки k-го уровня не пересекаются. Таким образом, любое самоподобное замощение со строгой иерархией непериодично.

Далее, рассмотрим какой-нибудь конечный фрагмент самоподобного замощения. Заметим, что при последовательном укрупнении все плитки из этого фрагмента на каком-то шаге окажутся внутри одной супермакроплитки:


Самоподобные замощения

Однако это означает, что любая супермакроплитка того же уровня также содержит искомый фрагмент. И совершенно ясно, что супермакроплиток бесконечно много, ведь они тоже составляют замощение плоскости. Следовательно, любой конечный фрагмент встречается в самоподобном замощении бесконечно много раз. Это свойство называется квазипериодичностью.

Наконец, если нам дано некоторое самоподобное замощение со строгой иерархией, то каждой входящей в него плитке можно однозначным образом сопоставить некоторую последовательность целых чисел. Для примера еще раз рассмотрим самоподобное замощение плоскости уголками. Каждый уголок входит в плитку следующего уровня в одной из четырех позиций (рисунок ниже слева), причем это справедливо для уголков из любого уровня иерархии. Поэтому с каждым уголком, являющимся плиткой исходного замощения, естественным образом соотносится последовательность из цифр 1, 2, 3 и 4: первый элемент последовательности означает, в какой позиции плитка 1-го уровня входит в плитку 2-го уровня, второй элемент определяет позицию вхождения этой плитки 2-го уровня в плитку 3-го уровня и так далее. Например, уголку, отмеченному на рисунке ниже справа красным цветом, соответствует последовательность, начинающаяся с цифр 134 (отметим, что при разбиении повернутой плитки все маленькие плиточки, входящие в разбиение, также поворачиваются, а потому позиции красного и темно-оранжевых уголков внутри плитки 2-го уровня будут такими, как отмечено на рисунке ниже в центре).


Самоподобные замощения

Однако верно и обратное, то есть каждой последовательности из 1, 2, 3 и 4 соответствует некоторое самоподобное замощение. Если рассмотреть несколько шагов такой последовательности, то можно представить себе, как будет выглядеть это замощение в первом приближении. Так, на рисунке ниже показаны первые три шага для по следовательности 142...:


Самоподобные замощения

Правда, некоторым последовательностям, которые мы будем называть исключительными, таким образом сопоставляется замощение не всей плоскости, а только ее части. Например, последовательность 222222... отвечает замощению четверти плоскости, 131313... — полуплоскости, 444444... — трех четвертей плоскости. Но исключительных последовательностей мало: вероятность того, что случайно выбранная последовательность окажется исключительной, точно такая же, как и вероятность того, что случайно выбранное действительное число окажется рациональным, то есть нулевая.

Понятно, что одно и то же замощение на самом деле сопоставляется не одной последовательности, а целому их семейству, поскольку мы можем начать отсчет с любой плитки замощения. В стандартном, неисключительном случае любые две последовательности из одного и того же семейства отличаются друг от друга лишь конечным числом элементов. В самом деле, любые две плитки 1-го уровня войдут в некоторую макроплитку уровня k, а значит, начиная с k-го элемента соответствующие этим плиткам последовательности окажутся идентичными.

Как бы то ни было, плиток в любом замощении счетное количество, то есть одно и то же замощение соответствует счетному числу различных последовательностей. А число различных последовательностей из цифр 1, 2, 3 и 4 несчетно — их континуум. Поэтому различных самоподобных замощений уголками несчетное число. То же самое справедливо и для других самоподобных замощений со строгой иерархией.


Самоподобные замощения

Напоследок сделаем пару замечаний общего характера. Первое из них касается определения самоподобной фигуры. Мы требовали, чтобы такую фигуру можно было разбить на несколько равных частей, подобных данной фигуре, однако условие равенства частей, вообще говоря, можно опустить (и тогда подойдет, например, любой прямоугольный треугольник, см. рисунок справа).

Процедуру дефляции-инфляции в этом случае имеет смысл немного уточнить. Например, это можно сделать так: на каждом шаге мы будем разбивать на подобные части не все фигуры, а только самые большие; соответственно, и укрупнение будем проводить таким образом, чтобы наибольшие из оставшихся фигур сравнялись по величине с фигурой исходной. Нетрудно убедиться, что при таком определении все перечисленные выше свойства сохраняются, то есть самоподобные замощения со строгой иерархией будут непериодическими, но в то же время квазипериодичекими, а различных замощений, получающихся по одной и той же схеме, оказывается несчетное число.

А во-вторых, отметим следующий момент. Очевидно, что, хотя любое самоподобное замощение уголками непериодично, в то же время нетрудно предъявить периодическое замощение этими же плитками:


Самоподобные замощения

То же самое справедливо и для всех остальных самоподобных фигур, упомянутых выше. Существует ли самоподобная плитка, копиями которой можно замостить плоскость, но лишь непериодическим образом, до сих пор неизвестно.

Рисунки © Хайдар Нурлигареев.

Хайдар Нурлигареев

10 август 2019 /
  • Не нравится
  • 0
  • Нравится

Похожие новости

Ячейка Хеле-Шоу

На фото — работа художника Энтони Холла (Anthony Hall) из серии Hele-Shaw. Холл создает произведения искусства, переосмысливая научные эксперименты и используя физические процессы вместо привычных

Денеб: рассказ о далекой звезде-сверхгиганте

Денеб или Альфа Лебедя — редкая звезда. Она принадлежит к классу звезд голубых сверхгигантов.

Покупка элитной недвижимости в Италии

Пляжный отдых в Италии просто шикарный. Перечислять плюсы можно долго: довольно мягкий климат, обилие сочных фруктов и овощей, гостиничный и ресторанный сервис высокого уровня, множество
Комментарии

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Код:
Кликните на изображение чтобы обновить код, если он неразборчив
Введите код:
Популярные новости
Шугаринг: плюсы и минусыПреимущества матрасов MatroluxeОсобенности продвижения сайтаКак рождаются самые мощные магниты во ВселеннойУпавший в Коста-Рике метеорит пахнет брюссельской капустойРедчайший метеор: дневные СекстантидыТайник с серебряными шекелямиОчень большой телескоп